Question

5．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，然后利用数列的分组求和解得等差数列的前n项和求得数列{b_n）的前2n项和T_2n．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，得当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{（{a}_{1}+1）^{2}}{4}$，得a₁=1；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}-\frac{（{a}_{n-1}+1）^{2}}{4}$，化简得：
（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，得a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）∵b_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n²，
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n
=（-1-1²）+（3+3²）+（-5-5²）+（7+7²）+…+[（4n-1）+（4n-1）²]
=（-1+3）+（-5+7）+…+[-（4n-3）+（4n-1）]+（-1²+3²）+（-5²+7²）+…+[-（4n-3）²+（4n-1）²]
=2n+8[1+3+5+…+（2n-1）]
=2n+8•$\frac{1+（2n-1）}{2}•n$=8n²+2n．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．