Question

17．若正数x，y满足x+2y=4xy，则x+$\frac{y}{2}$的最小值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意，将x+2y=4xy变形可得$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，由此分析可得x+$\frac{y}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$），由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，若x+2y=4xy，则有$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，
则x+$\frac{y}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）≥$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+2）=$\frac{9}{8}$，
当且仅当x=y=$\frac{3}{4}$时等号成立；
即x+$\frac{y}{2}$的最小值为$\frac{9}{8}$；
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题基本不等式的性质，关键是对x+2y=4xy变形，得到$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4．