Question

16．已知向量$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ）$，向量$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则tanθ的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 依题意，得：$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，因此可得θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），继而可求得tanθ=-$\sqrt{3}$，得到答案．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ）$，$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），
∴θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴tanθ=-$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$求得θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）是关键，考查运算求解能力，属于中档题．