Question

12．已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．
（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；
（2）直线2x+y-6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆的方程求出A，B的坐标，利用△AOB的面积为2，即可求圆C的方程；
（2）求出DE，OC的斜率，即可得出结论．

解答 解：（1）由题设知，圆C的方程为（x-t）²+（y-t）²=2t²，
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或2t，则B（0，2t），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$|2t|•|2t|=2，
∵t＞0，
∴t=1．                        
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）∵|OD|=|OE|，∴OC⊥DE，
∵直线DE的斜率k=-2，OC的斜率为1
∴t=2或t=-2．不满足斜率的积为-1，
∴不存在t使得|OD|=|OE|．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件确定圆的方程是解决本题的关键．