题目内容
3．
某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km2）．
分析 求出曲线OC的方程，设出P点坐标，用P点坐标表示出矩形的面积函数，求出面积函数的最大值．
解答 解：以O为原点，直线AO为x轴，且以1 km为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，于是C（2，4），B（-2，4）．
设曲线段OC所在抛物线方程为x2=2py（p＞0），
于是22=2p×4，得2p=1．所以曲线段OC所在抛物线方程为x2=y．
设P（x，x2）（0≤x＜2），则M（-2，x2），N（x，4），MP=x+2，PN=4-x2，
∴矩形PMBN的面积S（x）=MP•PN=（x+2）（4-x2）=-x3-2x2+4x+8（0≤x＜2），
$S'=-3{x^2}-4x+4=-3（x+2）（{x-\frac{2}{3}}）$，令S'=0得$x=\frac{2}{3}$或x=-2（舍）．
当$x∈（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$时，S'＞0，∴函数S在$（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$内是单调增函数；
当$x∈（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$时，S'＜0，∴函数S在$（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$内是单调减函数．
∴$x=\frac{2}{3}$时，S（x）取得最大值S（$\frac{3}{2}$）=$\frac{256}{27}$≈9.5．
故选取P点距AB距离约为2.7 km时，能使矩形园区的用地面积最大，最大面积约为9.5 km2．
点评 本题考查了导数与函数的单调性，函数最值之间的关系，求出矩形的面积函数是解题关键．
练习册系列答案
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15．
小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．
（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；
（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．
小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．| 健步走步数（千卡） | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 消耗能量（卡路里） | 400 | 440 | 480 | 520 |
（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．
13．函数$f（x）={log_a}（{a{x^2}-x}）（{0＜a＜1}）$，则该函数的单调减区间为（ ）
| A． | （-∞，0） | B． | $（{-∞，\frac{1}{2a}}）$ | C． | $（{0，\frac{1}{a}}）$ | D． | $（{\frac{1}{a}，+∞}）$ |