Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥P-ACE的体积；
（3）求直线AC与平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥PA．同理CD⊥PA，即可证明PA⊥平面ABCD；
（2）利用三棱锥P-ACE的体积V=V_P-ACD-V_E-ACD，即可求三棱锥P-ACE的体积；
（3）证明∠ACE就是直线AC与平面PCD所成的角，即可求直线AC与平面PCD所成的角．

解答 （1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点，
∴E到平面ACD的距离h=1，
S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥P-ACE的体积V=V_P-ACD-V_E-ACD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×2×2$-$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$…（8分）
（3）解：∵PA⊥平⊥面ABCD，∴PA⊥CD∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE
∵PA=AD，E是PD的中点，∴PD⊥AE∴AE⊥平面PCD，
∴∠ACE就是直线AC与平面PCD所成的角，
AE=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$∴∠ACE=30°…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥P-ACE的体积的求法，考查线面角，注意空间思维能力的培养．属于中档题．