Question

14．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函数  f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）写出函数g（a）单调增区间与单调减区间（不必证明），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先判断出函数f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上为单调减函数，然后求出M（a）、N（a），进而求出g（a）的表达式即可；
（2）由一次函数的性质知，g（a）=-8a+4在区间（0，$\frac{1}{3}$]单调减，a为$\frac{1}{2}$时，g（a）取最小值，代入求解即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{3}≤a≤1$，
∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴$x=\frac{1}{a}∈[1，3]$．
∴f（x）有最小值$N（a）=1-\frac{1}{a}$．
当2≤$\frac{1}{a}$≤3时，a∈[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]，f（x）$有最大值M（a）=f（1）=a-1；     
当1≤$\frac{1}{a}$＜2时，a∈（$\frac{1}{2}，1]，f（x）$有最大值M（a）=f（3）=9a-5；     
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}a-2+\frac{1}{a}（\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}）\\ 9a-6+\frac{1}{a}（\frac{1}{2}＜a≤1）.\end{array}\right.$
（2）设$\frac{1}{3}≤{a_1}＜{a_2}≤\frac{1}{2}$，
则 $g（{a_1}）-g（{a_2}）=（{a_1}-{a_2}）（1-\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}）＞0$，
∴g（a₁）＞g（a₂），
∴$g（a）在[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上是减函数．
设$\frac{1}{2}＜{a_1}＜{a_2}≤1$，
则$g（{a_1}）-g（{a_2}）=（{a_1}-{a_2}）（9-\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}）＜0$，
∴g（a₁）＜g（a₂），
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函数
∴当$a=\frac{1}{2}$时，g（a）有最小值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质及其运用，考查了函数的表达式以及最值的求法，属于中档题．