Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意实数x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]，不等式f（x）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的对称性进行求解．
（2）利用三角函数的单调性的性质进行求解，
（3）利用参数分离法将不等式进行转化，结合三角函数的有界性求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
故函数的递增区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函数的递减区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
（3）若对任意实数x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]，不等式f（x）-m＜2恒成立，
则m＞f（x）-2=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{3}{2}$，
∵${\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}}$，∴$\frac{π}{3}}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
$\frac{π}{12}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{12}$，
又∵y=sinx在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函数，
∴sin$\frac{π}{12}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤sin\frac{5π}{12}$．
又∵sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}$）=sin$\frac{2π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{2π}{3}$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴f（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，时的最大值是f_max（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∵不等式f（x）-m＜2恒成立，即f（x）-2＜m恒成立，
∴$\frac{3+\sqrt{3}}{4}-2＜m$，即m$＞\frac{\sqrt{3}-5}{4}$，
所以，实数m的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}-5}{4}，+∞）$．

点评 本题考查向量的数量积的计算．两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力．