Question

有两个命题：p：不等式2x-x²＜m＜（

1

3

）^x+4对一切实数x恒成立；q：f（x）=-（7-2m）x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将两个命题的条件转化为不等式，由p且q为真命题，取两个范围的交集，即可确定m的取值范围．

解答： 解：∵2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
（

1

3

）^x+4＞4，
∴不等式2x-x²＜m＜（

1

3

）^x+4对一切实数x恒成立，
等价于1＜m≤4，
又∵f（x）=-（7-2m）x是R上的减函数等价于
-（7-2m）＜0，即m＜

7

2

，
∴p且q为真命题等价于，

1＜m≤4 m＜ 7 2

，
∴1＜m＜

7

2

，
即实数m的取值范围是（1，

7

2

），
故答案为（1，

7

2

）．

点评：本题考查一次函数，二次函数以及指数函数的性质的灵活应用，属于中档题．