Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量

p

=（a，b），

q

=（sinB，sinA），

n

=（b-2，a-2）．
（Ⅰ）若

p

∥

q

，求证：△ABC是等腰三角形；
（Ⅱ）若

p

⊥

n

，边长c=2，∠C=

π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据正弦定理和向量平行的条件，问题得以证明；
（Ⅱ）根据向量垂直则数量积等于0，利用余弦定理，求出ab的积，然后利用三角形的面积公式，即可解得．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∴

p

∥

q

，

p

=（a，b），

q

=（sinB，sinA），
∴asinA=bsinB，
根据正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

得，a²=b²，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（Ⅱ）∵

p

⊥

n

，
∴

p

•

n

=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab，
又c=2，∠C=

π

3

，
∴4=a2+b2-2bccos

π

3

，
∴4=（a+b）²-3ab，
∴（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4，（ab=-1舍去）
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题主要考查了向量的平行与垂直，以及正弦定理，余弦定理，是一道有关向量和三角函数综合题目，难度不是很大．