Question

5．某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$升，其中k为常数，且60≤k≤100．
（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．

Answer 1

分析 （1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得$\frac{1}{5}$（x-100+$\frac{4500}{x}$）≤9，解不等式可得x的范围；
（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，由题意可得y=$\frac{100}{x}$•$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$，换元令t=$\frac{1}{x}$、化简整理可得t的二次函数，讨论t的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）由题意可得当x=120时，$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$=$\frac{1}{5}$（120-k+$\frac{4500}{120}$）=11.5，
解得k=100，由$\frac{1}{5}$（x-100+$\frac{4500}{x}$）≤9，
即x²-145x+4500≤0，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]；
（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，则
y=$\frac{100}{x}$•$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$=20-$\frac{20k}{x}$+$\frac{90000}{{x}^{2}}$（60≤x≤120），
令t=$\frac{1}{x}$，则t∈[$\frac{1}{120}$，$\frac{1}{60}$]，
即有y=90000t²-20kt+20=90000（t-$\frac{k}{9000}$）²+20-$\frac{{k}^{2}}{900}$，
对称轴为t=$\frac{k}{9000}$，由60≤k≤100，可得$\frac{k}{9000}$∈[$\frac{1}{150}$，$\frac{1}{90}$]，
①若$\frac{k}{9000}$≥$\frac{1}{120}$即75≤k≤100，
则当t=$\frac{k}{9000}$，即x=$\frac{9000}{k}$时，y_min=20-$\frac{{k}^{2}}{900}$；
②若$\frac{k}{9000}$＜$\frac{1}{120}$即60≤k＜75，
则当t=$\frac{1}{120}$，即x=120时，y_min=$\frac{105}{4}$-$\frac{k}{6}$．
答：当75≤k≤100，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20-$\frac{{k}^{2}}{900}$升；
当60≤k＜75，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为$\frac{105}{4}$-$\frac{k}{6}$升．

点评 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．