Question

16．若函数y=sinωx能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上为增函数，则正整数ω的值为8．

Answer 1

分析 根据正弦函数y=sinωx可知图象过（0，0），求出周期T，根据长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，建立关系，在结合在区间$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上为增函数，可得正整数ω的值．

解答 解：由题意函数y=sinωx图象过（0，0），
其周期T=$\frac{2π}{ω}$，
要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有T$+\frac{1}{4}T≤1$，即$\frac{2π}{ω}+\frac{π}{2ω}≤1$，
解得：ω$≥\frac{5π}{2}$，
∵在区间$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上为增函数，
∴$2kπ-\frac{π}{2}≤-\frac{πω}{16}$且$2kπ+\frac{π}{2}≥\frac{ωπ}{15}$，k∈Z，
解得：8-32k≥ω且30k+7.5≤ω，
当k=0时，可同时满足，此时ω正整数值为8．
故答案为8．

点评 本题考查三角函数的图象及性质的综合运用能力，考查转化思想以及计算能力．