Question

已知数列{a_n}满足a₁₀=19，a₂=3，a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a an，c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项之和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），可得数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=2 an=2^2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^2n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），
∴数列{a_n}是等差数列，
∴d=

a10-a2

8

=

19-3

8

=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1．
（2）b_n=2 an=2^2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^2n-1．
∴数列{c_n}的前n项之和S_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）•2^2n-1，
4S_n=1×2³+3×2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
∴-3S_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹=

2×2(4n-1)

4-1

-2-(2n-1)•22n+1=

5-6n

3

•22n+1-

10

3

，
∴S_n=

(6n-5)•22n+1

9

+

10

9

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．