Question

设全集U=R，集合A={x||2x-1|+|x-2|＜3}，B={y|y=x³-x²，x∈A}，求（∁_UA）∩B．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：通过讨论x的范围，解不等式从而求出集合A，通过求导得到y=x³-x²的单调性，从而求出集合B，进而求出（∁_UA）∩B．

解答： 解：当x＜

1

2

时，原不等式变形为1-2x+2-x＜3，解得x＞0，
∴0＜x＜

1

2

，
当

1

2

≤x≤2时，原不等式变形为2x-1+2-x＜3，解得x＜2，
∴

1

2

≤x＜2，
当x≥2时，原不等式变形为2x-1+x-2＜3，解得x＜2，
∴x∈∅，
综上，A={x|0＜x＜2}，
由y′=（x³-x²）′=3x²-2x=0，
解得：x=0或x=

2

3

，
当x∈（0，

2

3

）时，y′＜0；x∈（

2

3

，2）时，y′＞0，
∴y=x³-x²，x∈A={x|0＜x＜2}在（0，

2

3

）单减，在（

2

3

，2）单增．
∴y∈[-

4

27

，4），即B={y|-

4

27

≤y＜4}，
∴（∁_UA）∩B={x|-

4

27

≤x≤0或2≤x＜4}．

点评：本题考查了集合的运算，考查了分类讨论思想，函数的单调性，是一道中档题．