Question

13．做一个体积为32m³，高为2m的长方体纸盒．
（1）若用x表示长方体底面一边的长，S表示长方体的表面积，写出S关于x的函数关系式；
（2）当x取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸最少？最少用纸多少m²？

Answer 1

分析 （1）由题意知，该长方体的底面积为$\frac{32}{2}$=16cm²，故它的底面另一边长为$\frac{16}{x}$m．可得S（x＞0）．
（2）法一：要使用纸最少，即是使长方体的表面积最小，也就是求S的最小值．利用导数研究其单调性极值即可得出．
法二：利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意知，该长方体的底面积为$\frac{32}{2}$=16cm²，故它的底面另一边长为$\frac{16}{x}$m．
∴S=2（2x+2×$\frac{16}{x}$）+2×16=4x+$\frac{64}{x}$+32（x＞0）．
（2）法一：要使用纸最少，即是使长方体的表面积最小，也就是求S的最小值．
∵S′=4-$\frac{64}{{x}^{2}}$=$\frac{4（x+4）（x-4）}{{x}^{2}}$，
令S′=0，解得：x=4（舍去），
当0＜x＜4时，S′＜0；
当x＞4时，S′＞0，
∴当S在x=4处取得极小值，也是最小值，此时S_min=16+$\frac{64}{4}$+32=64（m²）．
法二：要使用纸最少，即是使长方体的表面积最小，也就是求S的最小值．
∵x＞0，S=4x+$\frac{64}{x}$+32≥$2\sqrt{4x•\frac{64}{x}}$+32=64，
当且仅当x=4时等号成立，此时，S_min=64（m²）．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．