Question

3．已知△ABC和△A₁B₁C₁所在平面相交，并且AA₁，BB₁，CC₁交于一点．
（1）求证：AB和A₁B₁在同一平面内；
（2）若AB∩A₁B₁=M，BC∩B₁C₁=N，AC∩A₁C₁=P，求证：M，N，P三点共线．

Answer 1

分析 （1）欲证两直线在同一平面内，根据两条相交直线确定一个平面，证明其点在这个平面上，那么直线就在这个平面内．
（2）欲证两直线的交点在同一直线上，可根据公里2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上．

解答 证明：（1）如图∵AA₁∩BB₁=O，
∴AA₁与BB₁，确定平面α，
又∵A∈α，B∈α，A₁∈α，B₁∈α，
∴AB?α，A₁B₁?α，
∴AB和A₁B₁在同一平面内；
（2）证明：AB∩A₁B₁=M，AC∩A₁C₁=P，
∴平面ABC∩平面A₁B₁C₁=PM，
∵BC?平面ABC，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，且BC∩B₁C₁=N，
∴N∈PM，
即M，N，P三点共线

点评 本题考查了平面公理和推理的，证明共面以及共线，考查了学生的应推理论证能力，属于中档题