题目内容
已知函数f（x）=
（a∈R且x≠a）．
（1）求证：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）若函数f（x）=
（a∈R且x≠a）图象的对称中心是（3，b），求a+b的值．
（3）当f（x）的定义域为[a+
，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]．
| x+1-a |
| a-x |
（1）求证：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）若函数f（x）=
| x+1-a |
| a-x |
（3）当f（x）的定义域为[a+
| 1 |
| 2 |
考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,函数的图象与图象变化
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）化简f（x）+f（2a-x）+2=
+
+2=
+2=0；
（2）由题意f（x）+f（6-x）-2b=0，化简可得2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，从而求a+b；
（3）由分离常数法求函数的值域．
| x+1-a |
| a-x |
| (2a-x)+1-a |
| a-(2a-x) |
| 2x-2a |
| a-x |
（2）由题意f（x）+f（6-x）-2b=0，化简可得2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，从而求a+b；
（3）由分离常数法求函数的值域．
解答：
解：（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=
+
+2，
=
+2=-2+2=0；
（2）∵函数f（x）=
（a∈R且x≠a）图象的对称中心是（3，b），
∴f（x）+f（6-x）-2b=0，
即
+
-2b=0，
（x+1-a）（a-6+x）+（7-a-x）（a-x）-2b（a-x）（a-6+x）=0，
即2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，
即b=-1，a=
，
则a+b=-
，
（3）证明：f（x）=
=-1+
，
∵f（x）的定义域为[a+
，a+1]，
∴-1≤a-x≤-
，
∴-2≤
≤-1，
∴-3≤-1+
≤-2，
即f（x）的值域为[-3，-2]．
| x+1-a |
| a-x |
| (2a-x)+1-a |
| a-(2a-x) |
=
| 2x-2a |
| a-x |
（2）∵函数f（x）=
| x+1-a |
| a-x |
∴f（x）+f（6-x）-2b=0，
即
| x+1-a |
| a-x |
| 6-x+1-a |
| a-(6-x) |
（x+1-a）（a-6+x）+（7-a-x）（a-x）-2b（a-x）（a-6+x）=0，
即2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，
即b=-1，a=
| 3 |
| 7 |
则a+b=-
| 4 |
| 7 |
（3）证明：f（x）=
| x+1-a |
| a-x |
| 1 |
| a-x |
∵f（x）的定义域为[a+
| 1 |
| 2 |
∴-1≤a-x≤-
| 1 |
| 2 |
∴-2≤
| 1 |
| a-x |
∴-3≤-1+
| 1 |
| a-x |
即f（x）的值域为[-3，-2]．
点评：本题考查了函数的值域的求法及函数的对称性的应用，属于中档题．
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已知(
)a＞(
)b，则a，b的大小关系是（ ）
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