Question

已知二次函数f（x）有两个零点0和-2，且f（x）最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．
（Ⅰ）求f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）满足h（x+2）=h（x），且0≤x≤2时，h（x）=g（x），若方程h（x）=1的所有正根从小到大依次排列所得数列记为{x_n}，求数列{x_n}的前10项和S₁₀．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,数列的求和

专题：函数的性质及应用

分析：（I）依题意，设f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0），通过对称轴求出a的值即可，通过对称性对称g（x）的表达式；
（II）由h（x+2）=h（x）得函数h（x）是以2为周期的周期函数，通过讨论x的范围，得到数列{x_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而解决问题．

解答： 解：（I）依题意，设f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0）．…（1分）
∵f（x）图象的对称轴是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2=-1，得a=1．…（3分）
∴f（x）=x²+2x．…（4分）
又∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，
∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x．…（6分）
（II）由h（x+2）=h（x）得函数h（x）是以2为周期的周期函数，…（7分）
又0≤x≤2时，h（x）=g（x）=-x²+2x，
故0≤x≤2时，h（x）=1的根为x₁=1，…（9分）
类似的x₂=3，x₃=5，
所以数列{x_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，…（11分）
从而S10=10×1+

10×9

2

×2=100…（13分）

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了数列求和问题，是一道中档题．