Question

已知函数f（x）=-x³+3x．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x∈[0，a]，a＞0时，设f（x）的最大值是h（a），求h（a）的表达式．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，列表写出增区间、减区间、极小值、极大值，最后加以小结，注意两个减区间之间应隔开；
（2）对a讨论，分0＜a≤1，a＞1两类，根据（1）的单调区间，分别求出函数f（x）在[0，a]上的最大值，最后用分段函数形式写出h（a）即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

∴f（x）的递减区间是：（-∞，-1），（1，+∞），递增区间是（-1，1），
f（x）_极小值=f（-1）=-2，f（x）_极大值=f（1）=2；
（2）由（1）知，当0＜a≤1时，f（x）在[0，a]上递增，
此时f（x）_max=f（a）=-a³+3a，
当a＞1时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，
即当x∈[0，a]时f（x）_max=f（1）=2．
综上有h（a）=

3a-a3，0＜a≤1 2，a＞1

．

点评：本题主要考查应用导数求函数的单调区间，求函数的极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法，必须掌握数学中的这一重要思想方法在解决复杂问题中的应用，准确分类是正确解题的关键．