Question

已知函数f（x）=

3x

x+3

，数列{x_n}的通项由x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）确定．
 （1）求证：{

1

xn

}是等差数列；
 （2）当x₁=

1

2

时，求x₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由f（x）=

3x

x+3

，数列{x_n}的通项x_n=f（x_n-1），可得x_n=

3xn-1

xn-1+3

，取倒数，即可证明：{

1

xn

}是等差数列；
（2）当x₁=

1

2

时，求出数列的通项，即可求x₂₀₁₄．

解答： （1）证明：∵f（x）=

3x

x+3

，数列{x_n}的通项x_n=f（x_n-1），
∴x_n=

3xn-1

xn-1+3

，
∴

1

xn

=

1

xn-1

+

1

3

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

3

，
∴{

1

xn

}是等差数列；
（2）解：x₁=

1

2

时，

1

x1

=2，
∴

1

xn

=2+

1

3

（n-1）=

n+5

3

，
∴x_n=

3

n+5

，
∴x₂₀₁₄=

3

2019

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，正确证明数列是等差数列是关键．