Question

18．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2-x）=0；②f（x）-f（-2-x）=0；③在[-1，1]上的表达式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，0]\\ 1-x，x∈（0，1]\end{array}\right.$，则函数f（x）与$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}，x≤0\\{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞0\end{array}\right.$的图象在区间[-3，3]上的交点的个数为6．

Answer 1

分析 先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．

解答 解：∵①f（x）+f（2-x）=0，②f（x）-f（-2-x）=0，
∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=-1，
结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[-3，3]上有6个交点．
故答案为：6．

点评 本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．