Question

如图所示，已知圆C：x²+y²=r²（r＞0）上点(1，

3

)处切线的斜率为-

3

3

，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程；
（2）根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵

a

1

×(-

3

3

)=-1，
∴a=

3

．
∵点(1，

3

)在圆C：x²+y²=r²上，
∴r2=12+(

3

)2=4．
故圆C的方程为x²+y²=4．
（2）设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=4，
直线BD的方程为x-y-2=0，直线AP的方程为y=

y0-2

x0

x+2
联立方程组

x-y-2=0 y= y0-2 x0 x+2

，得M（

4x0

x0-y0+2

，

2x0+2y0-4

x0-y0+2

），
易得N（0，

2y0

2-x0

），
∴k_MN=2X

2x0+2y0-4 x0-y0+2 - 2y0 2-x0

4x0 x0-y0+2

=

(2-x0)(2x0+2y0-4)-2y0(x0-y0+2)

4x0(2-x0)

=

4x0+4y0-8-2x02-2x0y0+4x0-2x0y0+2y02-4y0

4x0(2-x0)

=

-4x02+8x0-4x0y0

4x0(2-x0)

=

x0+y0-2

x0-2

，
∴直线MN的方程为y=

x0+y0-2

x0-2

x+

2y0

2-x0

，
化简得（y-x）x₀+（2-x）y₀=2y-2x…（*）
令

y-x=0 2-x=0

，得

x=2 y=2

，且（*）式恒成立，故直线MN经过定点（2，2）．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力．