Question

已知双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），其离心率为e，直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点距离为p，则直线l的斜率为（　　）

• A、

  e2-1

  2

• B、e ²-1
• C、

  e2+1

  2

• D、e ²+1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，化简整理由离心率公式即可求得结论．

解答： 解：∵M在抛物线y²=2px（p＞0）上，
且M到抛物线焦点的距离为p，
则有抛物线的定义可得，x_M+

p

2

=p，
∴M的横坐标为

p

2

，∴M（

p

2

，p），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=p，y₁+y₂=2p，
则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得

p(x1-x2)

a2

-

2p(y1-y2)

b2

=0，
∴直线l的斜率为

y1-y2

x1-x2

=

b2

2a2

=

c2-a2

2a2

=

e2-1

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．