Question

已知函数f（x）=ln（ax²+x-b）．
（1）当a=1时，若函数f（x）的定义域为R，求实数b的取值范围．
（2）当b=-1时，另g（x）=f（2^x）-f（

a

2

），若当x∈（-∞，1]时g（x）有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=ln（x²+x-b），从而可得△=1+4b＜0，从而解得；
（2）化简g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），从而可得当x∈（-∞，1]时，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立及

a3

4

+

a

2

+1＞0成立，从而求解．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=ln（x²+x-b），
故△=1+4b＜0，
解得，b＜-

1

4

；
（2）g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）
=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），
∵当x∈（-∞，1]时g（x）有意义，
∴当x∈（-∞，1]时，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立，
故a＞-（

1

2x

+

1

2

）²+

1

4

；
故a＞-

3

4

；

a3

4

+

a

2

+1＞0可化为a³+2a+4＞0；
易知h（a）=a³+2a+4在R上单调递增，
且h（-

3

4

）=-

27

64

-

3

2

+4＞0；
故a＞-

3

4

．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．