Question

已知过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，

  3

  ）
• B、（1，

  3

  ]
• C、（1，

  2

  ]
• D、（1，

  2

  ）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即

b

a

＜，求得a和b的不等式关系，进而根据b=

c2-a2

转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答： 解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即

b

a

＜tan45°=1，即b＜a
∵b=

c2-a2

∴

c2-a2

＜a，
整理得c＜

2

a
∴e=

c

a

＜

2

∵双曲线中e＞1
∴e的范围是（1，

2

）．
故选：D．

点评：本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．