Question

在区间[0，2]内随机取一个数a，则使得函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-2a²x+

10

3

有三个零点的概率为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：利用导数求出函数存在三个零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：函数的导数f′（x）=x²-ax-2a²=（x+a）（x-2a），
∵a是正数，
∴由f′（x）=（x+a）（x-2a）＞0得x＞2a或x＜-a，此时函数单调递增，
由f′（x）=（x+a）（x-2a）＜0得-a＜x＜2a，此时函数单调递减，
则当x=-a时，函数f（x）取得极大值f（-a）=

7

6

a3+

10

3

＞0，
当x=2a时，函数f（x）取得极小值f（2a）=-

10

3

a³+

10

3

，
要使f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-2a²x+

10

3

有三个零点，则函数的极大值大于0且极小值小于0，
此时只需要极小值f（2a）=-

10

3

a³+

10

3

＜0，解得a＞1，即1＜a≤2，
∴在区间[0，2]内随机取一个数a，则使得函数f（x）有三个零点的概率为

2-1

2-0

=

1

2

，
故选：C

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，以及三次函数的性质，根据导数求出函数存在三个零点的等价条件是解决本题的关键．