Question

已知关于x的不等式（ax-1）（x-2）＜0．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若a＞0，求不等式的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）a=1时，不等式化为（x-1）（x-2）＜0，求出解集即可；
（2）a＞0时，不等式（ax-1）（x-2）＜0化为（x-

1

a

）（x-2）＜0，讨论a的值，比较

1

a

与2的大小，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵不等式（ax-1）（x-2）＜0，
当a=1时，不等式化为（x-1）（x-2）＜0，
解得1＜x＜2，
∴不等式的解集为（1，2）；…（4分）
（2）∵a＞0，不等式（ax-1）（x-2）＜0可以化为
（x-

1

a

）（x-2）＜0；…（6分）
①若0＜a＜

1

2

，则

1

a

＞2，此时不等式的解集为（2，

1

a

）；…（8分）
②若a=

1

2

，则不等式为（x-2）²＜0，不等式的解集为∅；…（10分）
③若a＞

1

2

，则

1

a

＜2，此时不等式的解集为（

1

a

，2）；…（12分）
综上所述，
当0＜a＜

1

2

时，不等式的解集为（2，

1

a

）；
当a=

1

2

时，不等式的解集为∅；
当a＞

1

2

时，不等式的解集为（

1

a

，2）．   …（14分）

点评：本题考查了考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论方法的应用问题，是基础题目．