Question

已知f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
（1）试判断f（x）的奇偶性，
（2）求证f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可判断函数的奇偶性；
（2）运用指数函数的单调性和f（x）的奇偶性即可证得f（x）＞0．

解答： （1）解：由f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x•

1+2x

2(2x-1)

由2^x-1≠0，可得x≠0，
则定义域关于原点对称，
f（-x）=-x•

1+2-x

2(2-x-1)

=-x•

2x+1

2(1-2x)

=x•

2x+1

2(2x-1)

=f（x），
则f（x）为偶函数；
（2）证明：当x＞0时，2^x＞1，即2^x-1＞0，2^x+1＞0，
则f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
由f（x）为偶函数，即有f（-x）=f（x），
则x＜0时，f（x）＞0成立．
则对于x≠0的任何实数，都有f（x）＞0．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的值域，考查指数函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．