Question

已知函数f（x）=

1 10 x+1，x≤1 lnx-1，x＞1

，若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，求出a的取值范围．

解答： 解：当x≤1时f（x）=

1

10

x+1，∴

1

10

x+1=ax，
∴a=

1

10

+

1

x

，
令g（x）=

1

10

+

1

x

，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是单调递减的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪（1.1，+∞）
当x＞1时，f（x）=lnx-1=ax，得到a=

lnx-1

x

，
令h（x）=

lnx-1

x

，
∵x＞1，∴h′（x）=

2-lnx

x2

，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x属于（1，e²）上单调增，在（e²，+∞）上单调减，
∴h（x）的最大值为h（e²）=

1

e2

，
∵当x＜e时，lnx-1＜0，而x趋向正无穷时，h（x）趋向0，
∴h（x）的最小值为h（1）=-1（但是开区间 因为x＞1），
∴h（x）的值域是（-1，

1

e2

），
∵f（x）=ax恰有两个不同的实数根，
∴a属于（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

），
故答案为：（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

）．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及分类讨论的思想，以及函导数数与函数最值问题，进行解答，是易错题．