题目内容
给出下列命题：
①若向量
=α
+β
，且α+β=1，则A，B，P三点共线；
②若z•
+z+
=3，则复数z的对应点Z的在复平面内的轨迹是圆；
③设f（x）=f′（1）x2+2x，则f′（2）=-6；
④曲线y=x3+3x2-5过点M（1，-1）的切线只有一条；
⑤在一个二面角的两个面内部都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，-1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为
．其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）
①若向量
| OP |
| OA |
| OB |
②若z•
. |
| z |
. |
| z |
③设f（x）=f′（1）x2+2x，则f′（2）=-6；
④曲线y=x3+3x2-5过点M（1，-1）的切线只有一条；
⑤在一个二面角的两个面内部都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，-1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为
| ||
| 6 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：阅读型
分析：①将向量
=α
+β
，且α+β=1，化为
=α
，由向量共线定理，即可判断；
②设复数z=x+yi（x，y为实数），
=x-yi，将z•
+z+
=3，化简，即可判断轨迹；
③对f（x）=f′（1）x2+2x求导，令x=1，求出f′（1），令x=2，即可求出f′（2）；
④讨论M为切点、M不是切点，求出导数，列方程求出切线的斜率，即可判断；
⑤由空间向量的坐标运算，求出数量积和模，运用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值．
| OP |
| OA |
| OB |
| BP |
| BA |
②设复数z=x+yi（x，y为实数），
. |
| z |
. |
| z |
. |
| z |
③对f（x）=f′（1）x2+2x求导，令x=1，求出f′（1），令x=2，即可求出f′（2）；
④讨论M为切点、M不是切点，求出导数，列方程求出切线的斜率，即可判断；
⑤由空间向量的坐标运算，求出数量积和模，运用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值．
解答：
解：①若向量
=α
+β
，且α+β=1，则
=α(
-
)+
，即有
=α
，则A，B，P三点共线，故①对；
②设复数z=x+yi（x，y为实数），
=x-yi，则z•
+z+
=3，可化为x2+y2+2x-3=0，故复数z的对应点Z在复平面内的轨迹是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，故②对；
③由于f（x）=f′（1）x2+2x，则f′（x）=2f′（1）•x+2，f′（1）=2f′（1）+2，f′（1）=-2则f′（2）=2×（-2）×2+2=-6，故③对；
④曲线y=x3+3x2-5过点M（1，-1）的切线，若M为切点，则切线的斜率为3×12+6=9，若M不为切点，设切点为（s，t），由于y′=3x2+6x，则3s2+6s=
，t=s3+3s2-5，解得s=-2，即切线的斜率为3×4-12=0，故切线有两条．故④错；
⑤设
=（0，-1，3），
=（2，2，4），则
•
=0-2+12=10，|
|=
，|
|=2
，故这个二面角的余弦值为
=
，故⑤对．
故答案为：①②③⑤．
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
| OB |
| BP |
| BA |
②设复数z=x+yi（x，y为实数），
. |
| z |
. |
| z |
. |
| z |
③由于f（x）=f′（1）x2+2x，则f′（x）=2f′（1）•x+2，f′（1）=2f′（1）+2，f′（1）=-2则f′（2）=2×（-2）×2+2=-6，故③对；
④曲线y=x3+3x2-5过点M（1，-1）的切线，若M为切点，则切线的斜率为3×12+6=9，若M不为切点，设切点为（s，t），由于y′=3x2+6x，则3s2+6s=
| t+1 |
| s-1 |
⑤设
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| 10 |
| n |
| 6 |
| 10 | ||||
|
| ||
| 6 |
故答案为：①②③⑤．
点评：本题考查向量的共线与三点共线的关系、复数的几何意义、导数的运算、曲线的切线问题、二面角的平面角的计算，属于基础题，也是易错题．
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