题目内容
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：综合题,导数的概念及应用,空间位置关系与距离
分析：设正三棱锥侧面的高为h0，高为h，求出正三棱锥体积，利用导数的方法求解即可．
解答：
解：正三棱锥展
开如图所示．当按照底边包装时体积最大．
设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．
由题意得：
x+h0=10，解得h0=10-
x．…（2分）
则h=
=
，x∈（0，10
）． …（5分）
所以，正三棱锥体积V=
Sh=
×
x2×
=
． …（8分）
设y=V2=
（100-
x）=
-
，
求导得y′=
-
，令y′=0，得x=8
，…（10分）
当x∈（0，8
）时，y′＞0，y随着x的增加而增大，
当x∈（8
，10
）时，y′＜0，y随着x的增加而减小，
所以，当x=8
cm时，y取得极大值也是最大值． …（12分）
此时y=15360，所以Vmax=32
cm3．
答：当底面边长为8
cm时，正三棱锥的最大体积为32
cm3． …（14分）
开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．
由题意得：
| ||
| 6 |
| ||
| 6 |
则h=
h02-
|
100-
|
| 3 |
所以，正三棱锥体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
100-
|
=
| ||
| 12 |
100-
|
设y=V2=
| x4 |
| 48 |
10
| ||
| 3 |
| 100x4 |
| 48 |
| 10x5 | ||
48
|
求导得y′=
| 100x3 |
| 12 |
| 50x4 | ||
48
|
| 3 |
当x∈（0，8
| 3 |
当x∈（8
| 3 |
| 3 |
所以，当x=8
| 3 |
此时y=15360，所以Vmax=32
| 15 |
答：当底面边长为8
| 3 |
| 15 |
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定正三棱锥体积是关键．
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