题目内容
已知集合S={x|x=m2+n2，m，n∈Z}，求证：若a，b∈S，则ab∈S．
考点：元素与集合关系的判断
专题：集合
分析：若a，b∈S，则：存在整数m1，n1，m2，n2，满足a=m12+n12，b=m22+n22，进而将ab=（m12+n12）（m22+n22）化为（m1•m2-n1•n2）2+（m1•n2+n1•m2）2 的形式，可得结论．
解答：
解：若a，b∈S，则：存在整数m1，n1，m2，n2，满足
a=m12+n12，b=m22+n22，
则ab=（m12+n12）（m22+n22）
=m12•m22+n12•n22+m12•n22+n12•m22
=（m1•m2）2+（n1•n2）2-2（m1•m2•n1•n2）2+（m1•n2）2+（n1•m2）2+2（m1•m2•n1•n2）2
=（m1•m2-n1•n2）2+（m1•n2+n1•m2）2，
因为（m1•m2-n1•n2），（m1•n2+n1•m2）为整数，
所以ab∈S
a=m12+n12，b=m22+n22，
则ab=（m12+n12）（m22+n22）
=m12•m22+n12•n22+m12•n22+n12•m22
=（m1•m2）2+（n1•n2）2-2（m1•m2•n1•n2）2+（m1•n2）2+（n1•m2）2+2（m1•m2•n1•n2）2
=（m1•m2-n1•n2）2+（m1•n2+n1•m2）2，
因为（m1•m2-n1•n2），（m1•n2+n1•m2）为整数，
所以ab∈S
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中将ab=（m12+n12）（m22+n22）化为（m1•m2-n1•n2）2+（m1•n2+n1•m2）2 的形式，是解答的关键．
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