Question

已知椭圆E的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率等于

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）斜率为-

1

2

的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，过点P作直线l的垂线m，直线m与x轴相交于点Q，求证：∠F₁PQ=∠F₂PQ．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

c=1 c a = 1 2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=-

1

2

x+n，将其代入椭圆E的方程，得：x²-nx+n²-3=0，由△=0，得n=±2，由此能证明∠F₁PQ=∠F₂PQ．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆E的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率等于

1

2

，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

c=1 c a = 1 2

，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=-

1

2

x+n，
将其代入椭圆E的方程，得：x²-nx+n²-3=0，
∵直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，
∴△=n²-4（n²-3）=12-3n²=0，
解得n²=4，即n=±2，
n=2时，由x²-2x+1=0，得x=1，∴P（1，

3

2

），
此时直线m方程为y-

3

2

=2（x-1），令y=0，得Q（

1

4

，0），
∴

PF1

=（-2，-

3

2

），

PQ

=(-

1

4

，-

3

2

)，
cos∠F₁PQ=

3 2 + 9 4

3 2 • 3 5 4

=

2 5

5

，
同理，得cos∠F2PQ=

2 5

5

，
∴∠F₁PQ=∠F₂PQ，
同理，当n=-2时也成立，
∴∠F₁PQ=∠F₂PQ．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．