Question

已知不等式mx²-2x-3≤0的解集为（-1，n），
（1）求m+2n的值；
（2）（文科做）解关于x的不等式：x²+（a-n）x-3ma＞0（a∈R）
（2）（理科做）解关于x的不等式：ax²+n+1＞（m+1）x+2ax（a＜2）

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件可得关于x的方程mx²-2x-3=0的两根为-1，n，且m＞0，由韦达定理，即可得到；
（2）（文科做）代入m，n的值，对a讨论，分a＜-3，a＞-3，a=-3，即可得到解集；
（2）（理科做）代入m，n的值，对a讨论，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，1＜a＜2，即可得到解集．

解答： 解：（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集为（-1，n）知
关于x的方程mx²-2x-3=0的两根为-1，n，且m＞0，
则-1+n=

2

m

，-n=-

3

m

，解得m=1，n=3．
则m+2n=7．
（2）（文科做）由（1）知关于x不等式x²+（a-n）x-3ma＞0（a∈R）
可以化为x²+（a-3）x-3a＞0（a∈R），
即（x-3）（x+a）＞0
故当-a＞3，即a＜-3时，不等式的解集为{x|x＜3，或x＞-a}；
当-a＜3，即a＞-3时，不等式的解集为{x|x＜-a，或x＞3}；
当-a=3，即a=-3时，不等式的解集为{x|x≠3}
（2）（理科做）解：原不等式化为（x-2）（ax-2）＞0，
①当a=0时，原不等式化为x-2＜0，解得x＜2；
②当a＜0时，原不等式化为(x-2)(x-

2

a

)＜0，且2＞

2

a

，解得

2

a

＜x＜2；
③当0＜a＜1时，原不等式化为(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＜

2

a

，解得x＞

2

a

或x＜2；
④当a=1时，原不等式化为（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；
⑤当1＜a＜2时，原不等式化为(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＞

2

a

，解得x＜

2

a

或x＞2；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|

2

a

＜x＜2}；
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|x＞

2

a

或x＜2}；
当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＜

2

a

或x＞2}．

点评：本题考查二次不等式的解法，考查二次含参不等式的解法：分类讨论法，注意讨论的标准和全面性，是一道易错题．