题目内容

定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）
A、
3
f（
π
4
）＞
2
f（
π
3
）
B、f（1）＞2f（
π
6
）•sin1
C、
2
f（
π
6
）＞f（
π
4
）
D、
3
f（
π
6
）＞f（
π
3
）
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=
f(x)
sinx
，由其导函数的符号得到其在（0，
π
2
）上为增函数，对选项一一加以判断，即可得到答案．
解答： 解：因为x∈（0，
π
2
），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
f(x)
sinx
，x∈（0，
π
2
），则g′（x）=
f′(x)sinx-f(x)cosx
sin2x
＞0．
所以函数g（x）=
f(x)
sinx
在x∈（0，
π
2
）上为增函数，
对于A，由于g（
π
4
）＜g（
π
3
），即
f(
π
4
)
sin
π
4
＜
f(
π
3
)
sin
π
3
，化简即可判断A错；
对于B，由于g（1）＞g（
π
6
），即
f(1)
sin1
＞
f(
π
6
)
sin
π
6
，化简即可判断B正确；
对于C，由于g（
π
6
）＜g（
π
4
），即
f(
π
6
)
sin
π
6
＜
f(
π
4
)
sin
π
4
，化简即可判断C错误；
对于D，由于g（
π
6
）＜g（
π
3
），即
f(
π
6
)
sin
π
6
＜
f(
π
3
)
sin
π
3
，所以
f(
π
6
)
1
2
＜
f(
π
3
)
3
2
，
即
3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）．故D错误．
故选B．
点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．
练习册系列答案
相关题目
如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f（x）在区间(-3，-
1
2
)内单调递增；
②函数y=f（x）在区间(-
1
2
，3)内单调递减；
③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
⑤当x=-
1
2
时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（　　）
A、①②B、②③C、③④⑤D、③
已知曲线C的参数方程为
x=3+3cosθ
y=3sinθ
（θ是参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=
π
4
（ρ∈R），曲线C与直线l相交于点A、B．
（Ⅰ） 将曲线C的方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ） 求弦AB的长．
函数f（x）=sinπx+cosπx对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2-x1|的最小值为（　　）
A、
1
2
B、1
C、2
D、4
为了解某班关注NBA是否与性别有关，对本班 48人进行了问卷调查得到如下的列联表：
关注NBA不关注NBA合   计
男    生6
女    生10
合    计48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA的学生的概率为
2
3
．
（1）请将上面列连表补充完整（不用写计算过程）；
（2）判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由．
下列的临界值表，供参考
P（K2≥k0）0.100.050.0100.005
k02.7063.8416.6357.879
（参考公式：k2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
）其中 n=a+b+c+d．
已知函数y=
mx2+6mx+m+8
的定义域为R，求实数m的取值范围．
21+
1
2
log25=（　　）
A、2+
5
B、2
5
C、2+
5
2
D、1+
5
2
直线x-y+1=0截圆 x2+y2-2x-4y+1=0的弦长等于（　　）
A、1B、2C、3D、4
下列计算正确的是（　　）
A、（-2a）2=2a2
B、a6÷a3=a2
C、-2（a-1）=2-2a
D、a•a2=a2

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