Question

关于x的一元二次方程2x²-tx-2=0有两个实根为α，β，
（1）若x₁＜x₂为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：
（i）x12+x22＞2x₁x₂；
（ii）4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（2）设f（x）=

4x-t

x2+1

，f（x）在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为A和B，g（t）=A-B，求g（t）的最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）（i）由x₁＜x₂为区间[α，β]上的两个不同的点，即有（x₁-x₂）²＞0，即可得证；
（ii）由条件可得f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，两式相加由（i）即可得证；
（2）运用单调性的定义得到f（x）在区间[α，β]上为增函数，则f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α），由韦达定理，即可得到最小值．

解答： （1）证明：（i）∵x₁＜x₂为区间[α，β]上的两个不同的点，
则有(x1-x2)2＞0∴x12+x22＞2x1x2；
（ii）∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，∴2x₁²-tx₁-2＜0，2x₂²-tx₂-2＜0，
∴2（x₁²+x₂²）-t（x₁+x₂）-4＜0，又∵x12+x22＞2x₁x₂，
∴4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（2）解：设α≤x₁＜x₂≤β，
∵f（x₁）-f（x₂）=

[4x1x2-t(x1+x2)-4](x2-x1)

(x12+1)(x22+1)

＜0，
则f（x）在区间[α，β]上为增函数，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α）=

[4αβ-t(α+β)-4](α-β)

(α2+1)(β2+1)

=-

[4αβ-t(α+β)-4] (α+β)2-2αβ

α2β2+(α+β)2-2αβ+1

，
∵α+β=

t

2

，αβ=-1，∴A-B=

t2+16

≥4
故A-B的最小值为4．

点评：本题考查二次方程的实根的分布及二次函数的关系，考查函数的单调性及运用，同时二次方程的韦达定理及运用，考查运算和推理能力，属于中档题．