Question

设函数f（x）=lnx-

1

2

x²
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得x＞0，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，由此能求出f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞））上单调递减．
（2）f（x）在（

1

e

，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，由此能求出f（x）在区间[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lnx-

1

2

x²，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0
f（x）	↑	极大值	↓

∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞））上单调递减．…（5分）
（2）由（1）知f（x）在（

1

e

，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
f（x）最大值为f（1）=-

1

2

．…（7分）
f（

1

e

）-f（e）=

e4-4e2-1

2e2

＞0．…（8分）
f（x）最小值为f（e）=1-

1

2

e2．…（10分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最值勤的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．