Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC=2a-c
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若cosC=

2

3

，求sinA的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B；
（Ⅱ）由cosC的值求出sinC的值，再由sinB与cosB的值，求出sin（B+C）的值，即为sinA的值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a-c利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA-sinC=2sin（B+C）-sinC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
整理得：2cosBsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=60°；
（Ⅱ）∵cosC=

2

3

，C为三角形内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

3

2

×

2

3

+

1

2

×

5

3

=

2 3 + 5

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．