Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据函数的奇偶性将不等式f（t-1）+f（2t）＜0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）是（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0．
又f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴a=1，
∴f(x)=

x

1+x2

（2）证明：任设x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＞0，
又1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（t-1）＜f（-t），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴不等式可化为f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t）
即 f（t-1）＜f（-2t），
又f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴有

-1＜t-1＜1 -1＜2t＜1 t-1＜-2t

解之得0＜t＜

1

3

，
∴不等式的解集为{t|0＜t＜

1

3

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明和判断，综合考查函数性质的综合应用．