Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=1，E为DC的四等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D-AF-B的平面角余弦值的变化范围为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：过点D作DM⊥AF于点O，交AB于点M，不妨设二面角D-AF-B的平面解为θ，则cosθ=

MO

OD

=

OA

OF

=

1

x2

，从而求其取值范围．

解答： 解：如图，过点D作DM⊥AF于点O，交AB于点M，不妨设二面角D-AF-B的平面解为θ，
则cosθ=

OM

OD

，
设DF=x，3≤x≤4，由勾股定理，
OD=

x

x2+1

，OF=

x4 x2+1

，OA=

1 x2+1

，
∴cosθ=

MO

OD

=

OA

OF

=

1

x2

在[3，4]上是减函数，
∴

1

16

cosθ≤

1

9

．
故答案为：[

1

16

，

1

9

]．

点评：本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．