Question

在△ABC中，tan

A+B

2

=2sinC，若AB=1，则

1

2

AC+BC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：由已知式子化简变形讨论可得C=

π

3

，再由正弦定理可得

1

2

AC+BC=

1

3

sin（

2π

3

-A）+

2

3

sinA=

1

2

cosA+

5

2 3

sinA，由三角函数的最值可得．

解答： 解：∵在△ABC中，tan

A+B

2

=2sinC，
∴tan（

π

2

-

C

2

）=2sinC，∴

sin( π 2 - C 2 )

cos( π 2 - C 2 )

=2sinC，
∴

cos C 2

sin C 2

=4sin

C

2

cos

C

2

，即cos

C

2

（4sin²

C

2

-1）=0，
解得cos

C

2

=0或4sin²

C

2

-1=0，
∴C=π（舍去），或C=

5π

3

（舍去），或C=

π

3

，
又∵AB=1，∴

1

sin π 3

=

AC

sinB

=

BC

sinA

，
∴AC=

2

3

sinB，BC=

2

3

sinA，又B=

2π

3

-A，
∴

1

2

AC+BC=

1

3

sin（

2π

3

-A）+

2

3

sinA=

1

2

cosA+

5

2 3

sinA，
∴

1

2

AC+BC的最大值为

( 1 2 )2+( 5 2 3 )2

=

21

3

故答案为：

21

3

点评：本题考查解三角形，涉及正弦定理和同角三角函数的基本关系，以及三角函数的化简求最值，属中档题．