Question

已知圆C过定点A（0，1），圆心C在抛物线x²=2y上，M、N为圆C与x轴的交点．
（1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（2）当圆心C在抛物线上运动时，|MN|是否为一定值？请证明你的结论．
（3）当圆心C在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值，并求出此时圆C的方程．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出抛物线的准线方程，圆的方程，再利用勾股定理求抛物线准线被该圆截得的弦长；
（2）求出M、N的坐标，再计算|MN|，即可得出结论；
（3）求出m，n，表示出

m

n

+

n

m

，分类讨论，利用基本不等式求最大值，从而可得圆C的方程．

解答： 解：（1）抛物线x²=2y的顶点为

0，0

，准线方程为y=-

1

2

，
∵圆C过定点A

0，1

，圆心C是抛物线的顶点，
∴圆的半径等于1，圆C的方程为x²+y²=1．
∴弦长2

1-( 1 2 )2

=2×

3

2

=

3

…（4分）
（2）设圆心C

a， 1 2 a2

，则圆C的半径r=

a2+( 1 2 a2-1)2

，
圆C的方程是为：(x-a)2+(y-

1

2

a2)2=a2+(

1

2

a2-1)2…（6分）
令y=0，得x²-2ax+a²-1=0，得x₁=a-1，x₂=a+1，∴|MN|=|x₂-x₁|=2是定值．…（8分）
（3）由（2）知，不妨设M

a-1，0

，N

a+1，0

，m=

x 2 1 +1

=

(a-1)2+1

=

a2+2-2a

，n=

x22+1

=

(a+1)2+1

=

a2+2+2a

．

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

．…（11分）
当a=0时，

m

n

+

n

m

=2．…（12分）
当a≠0时，

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

．
当且仅当a=±

2

时，等号成立…（14分）
所以当a=±

2

时，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

，此时圆C的方程为(x±

2

)2+(y-1)2=2．…（16分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．