Question

已知二项式(

x

-

1

3 x

)5展开式中的常数项为p，且函数f(x)=

1-x2 ，-1≤x≤0 3x2- p 10 ，0＜x≤1

，则

∫

1 -1

f(x)dx=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：利用二项式展开式定理的知识先求出p，然后利用分段函数的积分公式求积分即可．

解答： 解：二项式(

x

-

1

3 x

)5展开式的通项公式为Tk+1=

C

k 5

(

x

)5-k•(-

1

3 x

)k=

C

k 5

(-1)k•x

5-k

2

-

k

3

，
令

5-k

2

-

k

3

=0，即5k=15，
解得k=3，
∴常数项p=

C

3 5

×(-1)3=-10，
∴则

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx，
∵

∫

0 -1

1-x2

dx的几何意义为半径为1的圆的面积的

1

4

，
∴

∫

0 -1

1-x2

dx=

1

4

•π，
∴

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx=

π

4

+（x³+x）|

1 0

=

π

4

+1+1=2+

π

4

，
故答案为：2+

π

4

．

点评：本题主要考查二项式定义的应用，积分的计算，要求熟练掌握积分的几何意义以及常见函数的积分公式，考查学生的运算能力．