Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-

1

x

（a∈R）．
（Ⅰ）a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，求出函数的导函数，进一步求得f（1）及f′（1）的值，由直线方程的点斜式得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，得到

f(x2)-5x2-[f(x1)-5x1]

x2-x1

＞0，可得函数g（x）=f（x）-5x在（0，+∞）上是增函数，则其导函数大于等于0恒成立，分离参数a后得到2a≤

1

x3

+

1

x2

-

5

x

．令

1

x

=t换元后构造函数h（t）=t³+t²-5t，利用导数求其最小值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=lnx-

1

x

，则f′(x)=

1

x

+

1

x2

，
f′（1）=2，
又f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-（-1）=2（x-1），
即2x-y-3=0；
（Ⅱ）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-5＞0，
∴

f(x2)-5x2-[f(x1)-5x1]

x2-x1

＞0，
设g（x）=f（x）-5x，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，
g（x）=lnx-ax²-

1

x

-5x，
g′(x)=

1

x

-2ax+

1

x2

-5．
由g′（x）≥0，得2a≤

1

x3

+

1

x2

-

5

x

．
令

1

x

=t，
则h（t）=t³+t²-5t，
h′（t）=3t²+2t-5=（3t+5）（t-1），
∵t∈（0，1）时，h′（t）＜0，
t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，
∴h（t）_min=h（1）=-3．
∴2a≤-3，
则a≤-

3

2

．
∴实数a的取值范围是（-∞，-

3

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法和构造函数法，是高考试卷中的压轴题．