题目内容
已知f（x）=ax2+bx+c
（1）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（2）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．
（1）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（2）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．
考点：二次函数的性质,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）中把a，b，c代入解不等式即可，（2）先将函数设成两根式，再定义新函数g（x），对新函数通过讨论a的取值确定范围．
解答：
解：（1）当a=-1，b=2，c=4时，
f（x）=-x2+2x+4≤1
即x2-2x-3≥0
∴x≤-1，或x≥3
∴f（x）≤1的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）
（2）由已知得f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1
=ax2-4ax+3a-1
=a（x-2）2-a-1
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）恒成立，符合；
②当a＞0时，易知g（x）＜0在x∈（1，3）恒成立，符合
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0
综上所述，实数a的取值范围为a≥-1．
f（x）=-x2+2x+4≤1
即x2-2x-3≥0
∴x≤-1，或x≥3
∴f（x）≤1的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）
（2）由已知得f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1
=ax2-4ax+3a-1
=a（x-2）2-a-1
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）恒成立，符合；
②当a＞0时，易知g（x）＜0在x∈（1，3）恒成立，符合
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0
综上所述，实数a的取值范围为a≥-1．
点评：本题考察了二次函数的性质问题，解不等式问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．
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