Question

8．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O，A两点．
（Ⅰ）求直线OA的斜率；
（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k_OA．
（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，把B（ρ₁，θ-$\frac{π}{2}$）代入ρ=2cosθ得ρ₁．把C（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入ρ=sinθ得ρ₂，利用|BC|=ρ₁+ρ₂，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，
∴k_OA=2．
（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则B（ρ₁，θ-$\frac{π}{2}$），代入ρ=2cosθ得ρ₁=2cos（θ-$\frac{π}{2}$）=2sinθ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
C（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），代代入ρ=sinθ得ρ₂=sin（θ+$\frac{π}{2}$）=cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴|BC|=ρ₁+ρ₂=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．