Question

18．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥？证明你的结论；
（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形可得PA⊥AB、PA⊥AD．再由线面垂直的判定得PA⊥平面ABCD；
（2）直接利用反证法证明在棱PB上不存在点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥；
（3）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于点H，连接EH，则EH⊥AC，可得∠EHG为二面角E-AC-D的平面角，然后求解直角三角形得EAC与DAC为面的二面角θ的大小．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a．
在△PAB中，由PA=AB=a，知PA²+AB²=2a²=PB²，则PA⊥AB．
同理PA⊥AD．
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：在棱PB上不存在点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥．
事实上，假设在棱PB上存在点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥．
过F作底面ABC的垂线，垂直为O，则O为△ABC的中心，
在平面PAB内，过F作FM∥PA，交AB于M，则FM⊥平面PAB，
这样，过平面ABC外一点F，有两条直线FO，FM与平面ABC垂直，错误．
故假设不成立，即在棱PB上不存在点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥．
（3）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于点H，连接EH，则EH⊥AC，
∴∠EHG为二面角E-AC-D的平面角，大小为θ．
∵PE：ED=2：1，
∴$EG=\frac{1}{3}$a，AG=$\frac{2}{3}$a，$GH=AGsin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
从而$tanθ=\frac{EG}{GH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$θ=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，关键是找出二面角的平面角，训练了利用反证法证明存在性问题，属中档题．