题目内容
如图，圆O与直线x+| 3 |
| 3 |
| OC |
| OA |
| OB |
（1）求圆O的方程及曲线Γ的轨迹方程；
（2）若直线y=x和y=-x分别交曲线Γ于点A、C和B、D，求四边形ABCD的周长；
（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出圆O的半径，写出圆O的方程，利用
=x
+y
，求出曲线Γ的方程．
（2）利用直线与曲线方程联立，
，求出A，C，B，D，然后求出四边形ABCD的周长．
（3）设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），说明点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．求出x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1，A2，求解即可．
| OC |
| OA |
| OB |
（2）利用直线与曲线方程联立，
|
（3）设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），说明点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．求出x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1，A2，求解即可．
解答：
解：（1）由题意圆O的半径r=
=1，
故圆O的方程为x2+y2=1．…（2分）
由
=x
+y
得，
2=(x
+y
)2，
即
2=x2
2+y2
2+2xy|
||
|cos60°，
得x2+y2+xy=1（x，y∈[-
，
]）为曲线Γ的方程．（未写x，y范围不扣分）…（4分）
（2）由
解得：
或
，
所以，A（
，
），C（-
，-
）
同理，可求得B（1，-1），D（-1，1）
所以，四边形ABCD的周长为：
（3）曲线Γ的方程为x2+y2+xy=1（x，y∈[-
，
]），
它关于直线y=x、y=-x和原点对称，下面证明：
设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则x02+y02+x0y0=1，
点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），显然y02+x02+y0x0=1，
所以点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，
同理曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．
可以求得x2+y2+xy=1和直线y=x的交点坐标为B1(-
，-
)，B2(
，
)，
x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1（-1，1），A2（1，-1），
∴|OA1|=
，|OB1|=
，∴
=
，
∴
=
．
在y=-x上取点F1(-
，
)，F2(
，-
)．
曲线Γ为椭圆：
其焦点坐标为F1(-
，
)，F2(
，-
)．
| 2 | ||||
|
故圆O的方程为x2+y2=1．…（2分）
由
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
即
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
得x2+y2+xy=1（x，y∈[-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）由
|
|
|
所以，A（
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
同理，可求得B（1，-1），D（-1，1）
所以，四边形ABCD的周长为：
| 17 |
| 9 |
（3）曲线Γ的方程为x2+y2+xy=1（x，y∈[-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
它关于直线y=x、y=-x和原点对称，下面证明：
设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则x02+y02+x0y0=1，
点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），显然y02+x02+y0x0=1，
所以点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，
同理曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．
可以求得x2+y2+xy=1和直线y=x的交点坐标为B1(-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1（-1，1），A2（1，-1），
∴|OA1|=
| 2 |
| ||
| 3 |
| |OA1|2-|OB1|2 |
2
| ||
| 3 |
∴
| ||
|
| ||
| 3 |
在y=-x上取点F1(-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
曲线Γ为椭圆：
其焦点坐标为F1(-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查圆的方程以及曲线轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的基本知识的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知集合M={x|x＜1}，集合N={y|y＞0}，则M∩N=（ ）
| A、{x|x＜1} |
| B、{x|x＞1} |
| C、{x|0＜x＜1} |
| D、∅ |
如果直线3x-
y+m=0与双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）恒有两个公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、（1，2） |
| B、（2，+∞） |
| C、（1，2] |
| D、[2，+∞） |
如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
如图，已知直线l1：y=4x+m，（m＜0）与抛物线