Question

如图，已知直线l₁：y=4x+m，（m＜0）与抛物线C1：y=2ax2，(a＞0)和圆C2：x2+(y+1)2=17都相切，F是抛物线C₁的焦点．
（Ⅰ）求m与a的值；
（Ⅱ）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用圆的圆心与半径，通过点到直线的距离等于半径，求出m，张筱雨抛物线相切判别式为0，求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线C₁方程为的焦点．设A(x1，

2

9

x12)，求出A为切点的切线l的方程，通过x=0，得切线l交y轴的B点坐标，然后求出点M的坐标，即可证明点M在一条定直线上；
（Ⅲ）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和距离求出三角形的面积，然后求解△NPQ的面积S的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，圆C2：x2+(y+1)2=17的圆心为C₂（0，-1），半径r=

17

．
由题设圆心到直线l₁：y=4x+m，（m＜0）的距离d=

|1+m|

17

，即

|1+m|

17

=

17

，
解得m=-18，（m=16舍去）．…（3分）
设l₁与抛物线的切点为A₀（x₀，y₀），又y'=4ax，得4ax₀=4⇒x0=

1

a

，y0=

2

a

．
代入直线方程得：

2

a

=

4

a

-18，
∴a=

1

9

，m=-18．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线C₁方程为y=

2

9

x2，焦点F(0，

9

8

)．
设A(x1，

2

9

x12)，由（1）知以A为切点的切线l的方程为y-

2

9

x12=

4

9

x1(x-x1)．
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为(0，-

2

9

x12)
所以

FA

=(x1，

2x12

9

-

9

8

)，

FB

=(0，-

2x12

9

-

9

8

)，
∴

FM

=

FA

+

FB

=(x1，-

9

4

)，
∴M(x1，-

9

8

)，即点M在定直线y=-

9

8

上．…（8分）
（Ⅲ）设直线MF：y=kx+

9

8

，代入y=

2

9

x12
得

2

9

x2-kx-

9

8

=0，设P，Q的横坐标分别为x_P，x_Q
则

xP+xQ= 9k 2 xP•xQ=- 81 16 △＞0

，
∴S△NPQ=

1

2

•|NF|•|xP-xQ|=

1

2

×

9

4

×

81k2 4 + 81 4

；
∵k≠0，
∴S△NPQ＞

81

16

，即△NPQ的面积S范围是(

81

16

，+∞)．…（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的应用，三角形面积的求法，弦长公式的应用．