Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的一条渐近线方程是y=

1

2

x，它的一个焦点在抛物线y2=4

5

x的准线上，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是双曲线C右支上相异两点，且满足x₁+x₂=6，D为线段AB的中点，直线AB的斜率为k．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）用k表示点D的坐标；
（Ⅲ）若k＞0，AB的中垂线交x轴于点M，直线AB交x轴于点N，求△DMN的面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出

b

a

=

1

2

，

a2+b2

=

5

，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）法一：设直线AB的方程为y=kx+d，k≠±

1

2

，k≠0，代入方程

x2

4

-y2=1(x≥2)，得（4k²-1）x²+8kdx+4（d²+1）=0，用根的判别式和韦达定理求出D(3，

3

4k

)，由此能求出k的取值范围．
法二：利用点差法求出D(3，

3

4k

)，由此能求出k的取值范围．
（Ⅲ）方程y=kx+

3(1-4k2)

4k

中，令y=0，得xN=3-

3

4k2

，由已知条件求出M(

15

4

，0)，由此能求出△DMN的面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的一条渐近线方程是y=

1

2

x，
它的一个焦点在抛物线y2=4

5

x的准线上，
∴

b

a

=

1

2

，

a2+b2

=

5

，
解得a=2，b=1，
∴双曲线C的方程为

x2

4

-y2=1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为y=kx+d，k≠±

1

2

，k≠0，
代入方程

x2

4

-y2=1(x≥2)，
得（4k²-1）x²+8kdx+4（d²+1）=0，
当△＞0时记两个实数根为x₁，x₂，
则x1+x2=

8kd

1-4k2

=6，x1x2=

4(d2+1)

4k2-1

＞0，
∴d=

3(1-4k2)

4k

，
∴AB的方程为y=kx+

3(1-4k2)

4k

，
把x=3代入得yD=

3

4k

，∴D(3，

3

4k

)，…（6分）
下求k的取值范围：法一：由△＞0，得d²+1-4k²＞0，
即

9(1-4k2)2

16k2

+1-4k2＞0，
而1-4k²＜0，所以

9(1-4k2)

16k2

+1＜0，化简得|k|＞

3 5

10

；…（7分）
法二：在

x2

4

-y2=1中令x=3，得y2=

5

4

，∴|yD|＜

5

2

，
即|

3

4k

|＜

5

2

，所以|k|＞

3 5

10

，
再结合|k|＞

1

2

，得|k|＞

3 5

10

．…（7分）
（Ⅱ）解法二：

x

2 1

=4

y

2 1

+4， 

x

2 2

=4

y

2 2

+4，
两式相减得6（x₁-x₂）=8y_D•（y₁-y₂），
∵k=

y1-y2

x1-x2

，∴yD=

3

4k

，∴D(3，

3

4k

)，…（6分）
下求k的取值范围：法一：由△＞0，得d²+1-4k²＞0，
即

9(1-4k2)2

16k2

+1-4k2＞0，
而1-4k²＜0，所以

9(1-4k2)

16k2

+1＜0，化简得|k|＞

3 5

10

；…（7分）
法二：在

x2

4

-y2=1中令x=3，得y2=

5

4

，∴|yD|＜

5

2

，
即|

3

4k

|＜

5

2

，所以|k|＞

3 5

10

，
再结合|k|＞

1

2

，得|k|＞

3 5

10

．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知方程y=kx+

3(1-4k2)

4k

中，
令y=0，得xN=3-

3

4k2

，
设点M的坐标为（m，0），由kMD=-

1

k

，得m=

15

4

，
∴M(

15

4

，0)，∴|MN|=|xM-xN|=

3

4

(1+

1

k2

)，
∴S△DMN=

1

2

•

3

4

(1+

1

k2

)•

3

4k

=

9

32

(1+

1

k2

)

1

k

，…（9分）
∵k＞0，∴k＞

3 5

10

，
∴0＜

1

k

＜

2 5

3

，∴S△DMN∈(0，

29 5

48

)．…（11分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查点的坐标的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要熟练掌握圆锥曲线的简单性质，注意等价转化思想的合理运用．